O Problema de Palais e somas torcidas de espaços de Banach

Existem propriedades de espaços de Banach que passam para subespaços e quocientes. Podemos estudar propriedades para as quais vale a outra implicação: uma propriedade P de espaços de Banach é dita uma propriedade de três espaços (3SP) se sempre que um espaço de Banach X possuir um subespaço Y tal que Y e X/Y satisfazem P seguir que o próprio espaço X satisfaz P. Exemplos de 3SPs são reflexividade, separabilidade, ser isomorfo a $\ell_1$ e ser isomorfo a $\ell_{\infty}$. O problema de Palais pergunta se ser isomorfo a um espaço de Hilbert é uma 3SP, e foi respondido negativamente por Enflo, Lindenstrauss e Pisier. Veremos como o estudo de 3SPs está relacionado ao conceito de somas torcidas de espaços de Banach, aplicações não-lineares e teoria da interpolação.