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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 22/11/2018

Nº de créditos: 8

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	2	4	12 Semanas	120 Horas

Docentes responsáveis:

Fernando Manfio

Objetivos:

Introduzir ao estudante um primeiro curso de superfícies mínimas, com resultados de superfícies mínimas em R^3 e na esfera S^3.

Justificativa:

A teoria de superfícies mínimas em R^3 tem suas origens no cálculo das variações desenvolvido por Euler e Lagrange no século 18 e, ao longo dos anos, várias gerações de geômetras deram contribuições importantes nessa teoria. Hoje em dia, a teoria de superfícies mínimas tem se tornado uma área prolífera de pesquisa em Geometria Diferencial.

Conteúdo:

Programa resumido: Geometria Diferencial; Superfícies mínimas em R^3; Superfícies mínimas na esfera S^3; Problemas.
Programa detalhado:
(1) Geometria Diferencial: Superfícies Riemannianas; Curvaturas Gaussiana e média; Superfícies de Riemann; Parâmetros isotermos; Fibrado tangente complexificado.
(2) Definições equivalentes de minimalidade em R^3; Primeira variação da área; Representação de Weierstrass e o teorema de Osserman; Superfícies mínimas de curvatura total finita; Superfícies mínimas periódicas: o teorema de Meeks-Rosenberg; Superfícies mínimas completas: exemplos clássicos.
(3) Definições equivalentes de minimalidade em S^3; Superfícies mínimas no sentido de Alexandrov: o teorema de Kusner; Superfícies mínimas mergulhadas; O teorema de Lawson; O teorema de Choe-Soret; Unicidade para superfícies mínimas: o teorema de Almgren.
(4) A conjectura de Lawson, provada por S. Brendle; A conjectura de Yau sobre o primeiro autovalor do Laplaciano de hipersuperfícies mínimas compactas na esfera S^n.

Forma de avaliação:

Apresentação de seminário.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
1. S. Brendle, Embedded minimal tori in S^3 and the Lawson conjecture, Acta Math. 211 (2013), 177-190.
2. S. Brendle, Minimal surfaces in S^3: a survey of recentes results, Bull. Math. Sci. (2013) 3:133-171.
3. J. Choe, Minimal surfaces in S^3 and Yau's conjecture, Proceedings of the 10th International Workshop on Differential Geometry, 10(2005), 183-188.
4. W. H. Meeks III, J. Pérez, The classical theory of minimal surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 48, Number 3, 325-407.
Complementares (se houver):