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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 22/11/2018

Nº de créditos: 8

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	2	4	12 Semanas	120 Horas

Docentes responsáveis:

Fernando Manfio
Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior

Objetivos:

Introduzir ao estudante um primeiro curso de teoria de subvariedades, com foco nas propriedades gerais das imersões isométricas de variedades Riemannianas em formas espaciais.

Justificativa:

A teoria de subvariedades surgiu como um desenvolvimento natural do estudo clássico de curvas e superfícies do espaço Euclidiano com os métodos do cálculo diferencial. No século passado, essa teoria evoluiu para uma ampla sub-área da Geometria Diferencial, com inúmeros ramos distintos e fazendo uso de uma variedade de técnicas distintas. Este é um primeiro curso básico obrigatório para os estudantes que farão sua tese de doutorado nessa area.

Conteúdo:

Programa resumido: Equações fundamentais das subvariedades; Redução de codimensão; Subvariedades mínimas; Rigidez de subvariedades; Subvariedades de curvatura constante; Subvariedades de curvatura extrínseca não-positiva.
Programa detalhado:
(1) As equações fundamentais e o teorema fundamental das imersões isométricas em formas espaciais; Subvariedades totalmente geodésicas; A distribuição de nulidade relativa; Subvariedades umbílicas; Subvariedades com fibrado normal flat.
(2) Imersões isométricas 1-regular; O paralelismo do primeiro espaço normal; s-nulidades e número tipo.
(3) A fórmula da primeira variação; Subvariedades mínimas em R^n e S^n; O tensor de Ricci de uma subvariedade; Rigidez de hipersuperfícies mínimas.
(4) Formas bilineares flat; A desigualdade de Chern-Kuiper; O teorema de Beez-Kiling; O teorema de rididez de Allendoerfer.
(5) A estrutura da segunda forma fundamental de subvariedades de curvatura constante; Coordenadas principais; Subvariedades hiperbólicas completas.
(6) O lema de Otsuki; Subvariedades cilindricamente limitadas; Estimativas da nulidade.

Forma de avaliação:

Apresentação de seminário.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

1. Dajczer, M. et al, Submanifolds and Isometric Immersions, Houston, Publish or Perish, 1990.

2. Moore, J. D., Submanifolds of constant positive curvature I, Duke Math. J 44 (1977), 449-484.

3. Rodriguez, L., Geometria das Subvariedades. Rio de Janeiro, Monografias de Matemática, IMPA, 1976.

4. Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Berkeley, Publish or Perish, 1970-75.