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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 22/12/2022

Nº de créditos: 8

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	2	4	12 Semanas	120 Horas

Docentes responsáveis:

Carlos Henrique Grossi Ferreira
Farid Tari
Fernando Manfio
Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior

Objetivos:

Introduzir a(o) estudante a linguagem básica e alguns resultados fundamentais da Geometria
Riemanniana.

Justificativa:

Esta disciplina é um curso básico para qualquer aluna(o) de pós-graduação em Matemática que queira estudar Geometria, Topologia ou Sistemas Dinâmicos, sendo também um curso relevante para alunas(os) da Análise e
Matemática Aplicada.

Conteúdo:

Programa resumido: Métricas Riemannianas; Conexões; Variedades Riemannianas completas; Curvatura; Imersões
isométricas; Cálculo variacional; Aplicações.

Programa detalhado:
(1) Métricas Riemannianas; Exemplos de variedades Riemannianas: o espaço Euclidiano R^n, a esfera S^n, o espaço
hiperbólico real H^n, produto de variedades Riemannianas, métricas conformes, recobrimentos, toros flat, a garrafa de
Klein; Submersões Riemannianas, a fibração de Hopf e espaço projetivo complexo; Variedades quocientes; Grupos de
Lie.
(2) Conexões; Transporte paralelo ao longo de uma curva; Geodésicas; Isometrias e campos de Killing; Conexões
induzidas.
(3) Variedades Riemannianas completas; O teorema de Hopf-Rinow; Cut locus; Exemplos de variedades completas.
(4) O tensor de curvatura de Riemann-Christoffel; O tensor de Ricci e curvatura escalar; Derivada covariante de
tensores; Exemplos.
(5) Imersões isométricas; A segunda forma fundamental; As equações fundamentais.
(6) As variações do funcional energia; Campos de Jacobi; Pontos conjugados; Exemplos.
(7) As formas espaciais; Teorema de Synge; Teorema de Bonnet-Myers; Variedades de curvatura não-
positiva.

Forma de avaliação:

Duas provas escritas.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

1. do Carmo, M. P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, 2005.
2. Chavel, I., Riemannian Geometry: A modern introduction, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984.
3. Gallot, S., Hulin, D., Lafontaine, J., Riemannian Geometry, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2004.
4. Lee, J. M., Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, GTM, 176, Springer-Verlag, 1997.
5. Petersen, P., Riemannian Geometry, GTM, vol. 171, Springer-Verlag, 1998.
6. Spivak, M., A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 4, Publish or Perish, Inc.,
1999.