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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 26/06/2025

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Daniel Gomes Fadel
Fernando Manfio
Igor Mencattini
Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior

Objetivos:

Aprofundar os conhecimentos essenciais sobre variedades diferenciáveis e estruturas subjacentes.

Justificativa:

O conteúdo desta disciplina é essencial para quem pretende pesquisar nas áreas de topologia diferencial, algébrica e geométrica, como também nas áreas de singularidades e sistemas dinâmicos. Além disso, a disciplina é importante na formação geral de discentes de todas as áreas da matemática.

Conteúdo:

I. Variedades diferenciáveis (com ou sem bordo): definição e exemplos; mapas diferenciáveis entre variedades e partições da unidade.

II. Vetores tangentes: derivações, velocidade de curvas, diferencial de uma função, e o fibrado tangente como variedade.

III. Subvariedades: aplicações de posto constante; teorema da função inversa; teorema do posto; formas locais de submersão e imersão; mergulhos; subvariedades imersas e mergulhadas.

IV.Teorema de Sard e suas aplicações: teoremas de Whitney, Vizinhança tubular, e Transversalidade.

V. Campos, fluxos e distribuições: Campos de vetores, colchete de Lie, curvas integrais, fluxo de um campo, campos f-relacionados, derivada de Lie de funções, derivada de Lie de campos, distribuições e variedades integrais, distribuições integráveis e folheações, distribuições involutivas. Teorema de Frobenius.

VI Grupos de Lie: Definições básicas. Os grupos clássicos. Campos invariantes. Álgebras de Lie. Aplicação exponencial. Homomorfismos de Grupos de Lie. Representação adjunta. Subgrupos de Lie. Ações de grupos de Lie.

Forma de avaliação:

Provas escritas.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
- LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds. 2nd ed. New York: Springer, 2013. 708 p. (Graduate texts in mathematics, v. 218).
- SPIVAK, M. A comprehensive introduction to differential geometry. 2nd ed. Boston: Publish or Perish, 1979. v.1
- WARNER, F. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York: Springer-Verlag, 1983. 272p. (Graduate texts in mathematics, v. 94)

Complementares:
- GUILLEMIN, V.; POLLACK, A. Differential topology. Providence: AMS Chelsea Publishing, 2010. 222p.
- HIRSCH, M. W. Differential topology. New York: Springer-Verlag, 1994. 222p. (Graduate texts in mathematics, v. 33).
- LIMA, E. L. Variedades diferenciáveis. IMPA: Rio de Janeiro, 2009.