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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 23/06/2025

Nº de créditos: 8

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	1	3	15 Semanas	120 Horas

Docentes responsáveis:

Walter Alberto de Siqueira Pedra

Objetivos:

1) Apresentar tópicos de análise funcional pela ótica do desenvolvimento destes em relação à fundamentação matemática da teoria quântica. Será dada particular atenção às álgebras de operadores.
2) Complementar a formação de estudantes interessados em análise funcional, uma vez que tais tópicos não são parte das disciplinas Análise Funcional I e II oferecidas no PPGMAT.

Justificativa:

1) A disciplina fornecerá subsídios teóricos suficientes para estudantes que queiram iniciar estudos matematicamente rigorosos de problemas oriundos Mecânica Quântica. Devido à grande atividade recente em informação e computação quânticas, espera-se que a busca por este tipo conteúdo cresça entre estudantes de matemática, mas também de física e engenharia elétrica, que presem por maior rigor teórico. Lembre-se aqui que não somente o IFSC, mas também o curso de Engenharia Elétrica da EESC oferece disciplinas relacionadas à mecânica quântica.
2) A disciplina servirá como base para disciplinas mais avançadas (“Tópicos”) em torno da teoria quântica, que possam vir a ser oferecidas no PPGMAT (ex.: mecânica estatística quântica, sistemas quânticos abertos etc).
3) A disciplina suprirá ferramentas de análise funcional que são de interesse central em diversas outras áreas. Entre estas, são de particular importância o teorema espectral (em sua forma mais geral) e a teoria de álgebras C*.

Conteúdo:

1) Espaços vetoriais ordenados, positividade e suas consequências.
2) Álgebras C* e seus estados.
3) Álgebras C* comutativas: teorema de Gelfand, estados como medidas de probabilidade (teorema de Riesz-Markov).
4) Construção GNS e teorema de Gelfand-Naimark.
5) O teorema espectral para operadores auto-adjuntos. Tipos espectrais.
6) Introdução ao formalismo C* para a teoria quântica. Hamiltonianas Quânticas.
7) Teorema RAGE: Caracterização dinâmica dos tipos espectrais de Hamiltonianas.
Tópicos especiais de análise espectral (a escolher segundo interesse de estudantes e disponibilidade de tempo):
8) Teorema de Weyl: espectro essencial e espectro discreto, estabilidade do espectro essencial.
9) Princípio min-max de Courant-Fischer-Weyl: existência de espectro discreto.
10) Teoria do espalhamento: existência de operadores de onda (lema de Cook), espectro absolutamente contínuo.11) Caso de estudo: operadores de Schrödinger na rede.

Forma de avaliação:

Duas provas escritas e uma apresentação oral opcional.

Observação:

A disciplina proposta será oferecia conjuntamente com a disciplina “Mecânica Quântica para Matemáticos” (SMA0379) da graduação. As provas terão nível de dificuldade diferentes para estudantes de graduação e pós-graduação.

Bibliografia:

Fundamentais:
1) BRU, J.B.; DE SIQUEIRA PEDRA, W. C* algebras and mathematical foundations of
quantum statistical mechanics: an introduction. Chaum: Springer, 2023. 477 p.
(Latin America Mathematics Series).
2) SIMON, B. A comprehensive course in analysis: operator theory. Providence: AMS,
2015. pt. 4
3) GUSTAFSON, S. J.; SIGAL, I. M. Mathematical concepts of quantum mechanics. 2nd.
Berlin: Springer, 2011.

Complementares:
1) BELTRAMETTI, E.; CASSINELI, G. The logic of quantum mechanics. Cambridge:
Cambridge University Press, 2010. (Encyclopedia of mathematics and its application,
v. 15 section, mathematical of physics)
2) TESCHL, G. Mathematical methods in quantum mechanics: with Applications to
Schrodinger operators. Providence: AMS, 2009. 305 p. (Graduate studies in
mathematics, v. 99)
3) OLIVEIRA, C. R. Intermediate spectral theory and quantum dynamics. Boston:
Birkhäuser, 2009. 410 p. Progress in mathematical physics, v. 54)