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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 23/06/2025

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Daniel Gomes Fadel
Fernando Manfio
Igor Mencattini
Ruy Tojeiro de Figueiredo Junior

Objetivos:

Introduzir tensores, formas diferenciais, integração de formas (Stokes) e cohomologia de de Rham, bem como os conceitos de fibrados vetoriais e principais, conexões em fibrados, e seus invariantes associados: curvatura e holonomia.

Justificativa:

A disciplina contém aspectos da topologia diferencial que são ubíquos na Matemática e, portanto, essenciais na formação geral de estudantes. Além disso, uma abordagem da geometria diferencial via fibrados principais é muito desejável, pois viabiliza, via escolha de diferentes grupos estruturais, o estudo posterior de várias áreas da geometria, tais como as geometrias riemanniana, kähleriana, hiperkähleriana, simplética, dentre outras.

O estudo de conexões, curvaturas e grupos de holonomia constitui um assunto central da geometria moderna. O curso permite que estudantes com interesse em geometria e áreas correlatas tenham um panorama amplo e atual desse importante tema.

Conteúdo:

I. Formas diferenciais: Campos de Tensores e Formas diferenciais. Derivada de Lie de formas diferenciais. O operador de inserção. Derivada exterior. Fórmula mágica de Cartan. Orientação e Integração de formas; Teorema de Stokes. Lema de Poincaré. Cohomologia de de Rham.

II. Fibrados vetoriais: Definição, exemplos. Seções. Grupo estrutural, funções de transição e relações de cociclo. Operações com fibrados vetoriais: soma direta, produto tensorial, potência exterior e quociente. Homomorfismo de fibrados vetoriais. Subfibrados vetoriais. Pullback de fibrados vetoriais.

III. Fibrados principais: Definição, exemplos; Fibrado de Referenciais de um fibrados vetorial. Seções. Funções de transição e relações de cociclo. Fibrados vetoriais associados a um fibrado principal; Fibrado Adjunto. Homomorfismo de fibrados principais. Redução de grupo estrutural e subfibrados principais.

IV. Conexões em fibrados: Conexões em fibrados principais e vetoriais; conexões induzidas em fibrados associados; derivada exterior covariante. Curvatura. Transporte paralelo. Grupos de holonomia. Teorema de redução e Teorema de Holonomia de Ambrose-Singer. Conexões no fibrado tangente e torção; princípio da holonomia: holonomia e tensores paralelos.

Forma de avaliação:

Avaliações escritas.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamental:
JOYCE, D. D. Riemannian holonomy groups and calibrated geometry. Oxford
University Press, 2007. 303p. (Oxford graduate texts in mathematics, v 12)

KOBAYASHI, S.; NOMIZU, K. Foundations of differential geometry. New York: Wiley,
1996. V.1

NICOLAESCU, L. I. Lectures on the geometry of manifolds. 3rd ed. Singapore: World
Scientific, 2020. 700 p."

Complementares:
LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds. New York: Springer, 2006. 628 p.
(Graduate texts in mathematics, v. 218).

SPIVAK, M. A comprehensive introduction to differential geometry. 2nd ed. Boston:
Publish or Perish, 1979. v.1