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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 20/05/2016

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Tiago Pereira da Silva

Objetivos:

O objetivo geral é ensinar os alunos tanto a reconhecer e aplicar técnicas de variedades invariantes em aplicações, como um ponto de partida básico para estender e provar novos teoremas. Em particular, os objetivos de aprendizagem são:
- Compreender o metodo de transformada de Hadamard e o método de Perron, usado para encontrar as variedades estáveis e instáveis de um ponto fixo hiperbólico.
- Entender como os pontos fixos hiperbólicos, variedades centrais e variedades invariantes normalmente hiperbólicas estão relacionados e as suas condições espectrais.
- Familiarizar o estudante com variadades normalmente hiperbólicas e seus fibrados.
- Utilizar a teoria em aplicações tais como na sincronização de osciladores acoplados.

Justificativa:

Variedades invariantes são fundamentais na teoria dos sistemas dinâmicos. Por exemplo, elas são utilizadas para provar que as órbitas homoclínicas podem levar ao caos, para estudar análise de bifurcação em variedades centrais, e para mostrar as propriedades de persistência sob pequenas perturbações.
Portanto elas constituem uma ferramenta importante para um estudante de sistemas dinâmicos, e é útil para pessoas que trabalham em aplicações relacionadas, uma vez que fornece um quadro para raciocinar sobre propriedades dinâmicas qualitativas de um sistema.

Conteúdo:

Começamos com variedades invariantes básicas: as variedades estáveis e instáveis de um ponto fixo hiperbólico. Então introduzimos transformada do gráfico de Hadamard e o método integral de Perron para provar a existência e unicidade das variedades, e discutimos as vantagens de cada técnica. Em seguida, discutimos variedades centrais, para finalmente obter variedades invariantes normalmente hiperbólicas (NHIMs). Estas generalizam pontos fixos hiperbólicos. Discutimos e provaremos a persistência de NHIMs e também discutiremos seus fibrados estáveis e instáveis, que dão origem a chamadas dinâmica isocrona, onde órbitas convergindo para o NHIM sombreia uma orbita de NHIM em fase. Discutimos vários exemplos e aplicações desta teoria.

Forma de avaliação:

Listas de Exercícios, Seminários e Projeto

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamental
C. Chicone "Ordinary differential equations with applications" Springer series Texts in Applied Mathematics vol. 34 (2006) ISBN: 978-0387-30769-5 DOI: 10.1007/0-387-35794-7.

Complementar
S. Wiggins "Normally hyperbolic invariant manifolds in dynamical systems" Springer series Applied Mathematical Sciences vol. 105, (1994). ISBN: 0-387-94205-X DOI: 10.1007/978-1-4612-4312-0
Hirsch, Pugh, and Shub "Invariant manifolds" Springer series Lecture Notes in Mathematics vol. 583 (1977). ISBN: 978-3-540-08148-7 DOI: 10.1007/BFb0092042