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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 20/05/2016

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Alexandre Ananin
Carlos Henrique Grossi Ferreira

Objetivos:

O estudo de estruturas geométricas em variedades de dimensões 3 e 4 constitui uma área de grande destaque da geometria moderna. A disciplina tem por objetivo introduzir alguns aspectos fundamentais desta ciência.

Justificativa:

O estudo de estruturas geométricas em variedades é uma área central da geometria. Por exemplo, os famosos problemas de uniformização exploram inter-relações entre topologia e geometria ao lidar com variedades recobertas (uniformizadas) por determinados espaços-modelo cuja estrutura geométrica é, por si, relevante. Houve grandes avanços nesta área nas últimas décadas, especialmente no que diz respeito às geometrias modeladas no espaço hiperbólico de curvatura constante em dimensão real três (ressaltam-se aqui os trabalhos de R. Hamilton e G. Perelman, que conduziram à solução da conjectura de geometrização de Thurston e, em particular, à solução da conjectura de Poincaré). Em dimensão real quatro, destacam-se como espaços-modelo as seguintes geometrias hiperbólicas: real (curvatura constante), complexa (automorfismos da bola complexa) e do produto (automorfismos do bidisco complexo). O estudo de variedades que admitem estrutura geométrica modelada nestes espaços desperta atualmente grande interesse por motivos diversos. Por exemplo, variedades compactas modeladas na bola complexa ou no bidisco complexo são superfícies do tipo geral. Tal relação entre estruturas geométricas e geometria algébrica não se restringe ao caso complexo: recentemente, têm tornado-se mais e mais evidentes as ligações entre certas estruturas geométricas em variedades e a geometria algébrica real.

Conteúdo:

Geometrias clássicas elementares: alguns aspectos básicos da geometria de formas simétricas e hermitianas. Estruturas geométricas em variedades: G-estruturas. Grupos e grupóides discretos de isometrias: teorema poliedral de Poincaré. Poliedros de Voronoi-Dirichlet. Uniformização em dimensão 3 e as geometrias de Thurston. Fibrados de Seifert. Estruturas geométricas em fibrados de discos: invariantes; conjectura de Gromov-Lawson Thurston; construção de exemplos. Variedades hiperbólicas complexas compactas: (des)igualdade de Bogomolov-Miyaoka-Yau; rigidez; construção de exemplos. Rudimentos de geometria algébrica real e complexa.

Forma de avaliação:

Listas de exercícios distribuídas entre os alunos e apresentações de seminários por parte dos alunos.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Bibliografia principal:
1. THURSTON, WP., and LEVY, S. Three-dimensional geometry and topology. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997.
2. SCOTT, P. The geometries of 3-manifolds. Bull. London Math. Soc., 1983, vol. 15, p. 401-487.
3. KAPOVICH, M. Hyperbolic manifolds and discrete groups. Boston: Birkhäuser, 2001.

Bibliografia complementar:
4. ANAN'IN, S., and GROSSI, CH. Coordinate-free classic geometries. Moscow Math. J., 2011, vol. 11, no. 4, p. 633-655.
5. ANAN'IN, S., and GROSSI, CH. Yet another Poincaré's polyhedron theorem. Proc. Edinburgh Math. Soc,. 2011, vol. 54, p. 297-308.
6. ANAN'IN, S., GROSSI, CH., and GUSEVSKII, N. Complex hyperbolic structures on disc bundles over surfaces. Int. Math. Res. Not. IMRN, 2011, no. 19, p. 4295-4375.
7. ANAN'IN, S., GROSSI, CH., and SILVA, JCC. Poincaré's polyhedron theorem for cocompact groups in dimension 4, Moscow Math. J., 2014, vol. 14, no. 4, p. 1-23 M.
8. GROMOV, M., LAWSON JR., HB., and THURSTON, WP. Hyperbolic 4-manifolds and conformally flat 3 manifolds. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 1988, no. 68, p. 27-45.
9. KUIPER, NH. Hyperbolic 4-manifolds and tessellations. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 1988, no. 68 , p. 47-76.
10. MOSTOW, GD. On a remarkable class of polyhedra in complex hyperbolic space. Pacific J. Math., 1980, vol. 86, no. 1, p. 171-276.