Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 20/05/2016

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica
Por semana
Prática
Por semana
Estudos
Por semana
Duração Total
4 0 8 15 Semanas 180 Horas

Docentes responsáveis:

Ali Tahzibi


Objetivos:

A teoria dos números é uma das áreas mais básicas, belas e profundas em matemática. A teoria moderna de sistemas dinâmicos e teoria ergódica tem mostrado bastante utilidade na demonstração de famosos teoremas na teoria dos números e combinatória. Nesta disciplina introduzem-se conceitos básicos de teoria ergódica e sistemas dinâmicos sempre com exemplos em teoria dos números e demonstraremos vários resultados em teoria dos números aplicando métodos ergódicos. A mescla de métodos da teoria da medida, análise harmônica básica e análise funcional com a linguagem da teoria dos números contribuem para a formação dos alunos de pós-graduação em matemática. A disciplina poderá ser considerada como um ponto de encontro entre várias linhas de pesquisa em análise, geometria, topologia e álgebra.


Justificativa:

Não existe nenhuma disciplina similar no programa de pós-graduação do Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação (ICMC). A disciplina providencia uma forma suave de introduzir conceitos sofisticados da teoria ergódica e aplicação em teoria dos números. A disciplina é pré-requisito para estudos futuros de formas quadráticas, da conjectura de Raghunatan e Oppenheim e da dinâmica nos espaços homogêneos.


Conteúdo:

Transformações que preservam medidas, recorrência e ergodicidade. Exemplos de recorrência e aplicações: aplicação em combinatória, aproximação diofantina. Teorema ergódico maximal e teorema ergódico de Birkhoff e aplicações: equidistribuição e teorema de Weyl. Mistura forte e mistura fraca. Frações contínuas: medida de Gauss, números diofantinos, teorema de Lagrange. Esperança condicional, acoplamentos e fatores. Teorema de Van der Waerden e Szemerédi.


Forma de avaliação:

Seminários e Lista de exercícios.


Observação:

Nenhuma.


Bibliografia:

Bibliografia principal:
1. EINSIEDLER, M., and WARD, T. Ergodic theory: with a view towards number theory. London: Springer, 2011.
2. FURSTENBERG, H. Recurrence in ergodic theory and combinatorial number theory. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1981.
3. DAJANI, K., and KRAAIKAMP, C. Ergodic theory of numbers. Washington-DC: Mathematical Association of America, 2002.

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