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Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 09/01/2019

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica Por semana	Prática Por semana	Estudos Por semana	Duração	Total
4	0	8	15 Semanas	180 Horas

Docentes responsáveis:

Ali Tahzibi
Daniel Smania Brandão

Objetivos:

A disciplina reúne tópicos fundamentais e recentes na teoria ergodica diferenciável.
A teoria ergódica de sistemas dinâmicos hiperbólicos é uma area vasta que está equipada pelas técnicas vindas da mecânica estatística. Sinai, Ruelle e Bowen foram pioneiros nesta transferência não trivial das técnicas. As medidas de Sinai-Ruelle-Bowen e as medidas de máxima entropia (construções de Bowen e Margulis) são entre tópicos fundamentais.
A teoria de hiperbolicidade não uniforme tem surgido como um tópico independente na teoria ergódica de sistemas dinâmicos. Os resultados desta teoria aparecem no estudo de fluxo geodésico, fluxo de Teichmuler, rigidez e no estudo de equação de Schrodinger e algumas equações de tipo reação-difusão e teoria de bilhares caóticos.
A hiperbolicidade parcial como hiperbolicidade não uniforme é uma forma frequente de estudar sistemas dinâmicos além dos uniformemente hiperbólicos. Sendo longe de sistemas com comportamentos totalmente elíticos se espera abundância de ergodicidade. Tópicos como acessibilidade nesta teoria estão relacionados com noção de controlabilidade na teoria de controle.

Justificativa:

A teoria de sistemas dinâmicos hiperbólicos e as formas fracas de hiperbolicidade é de grande importância para desenvolvimento de pesquisa na área de sistemas dinâmicos. A disciplina vai abordar diversos tópicos na teoria ergódica diferenciável para preparação dos alunos na fase inicial de pesquisa em doutorado. A diversidade das técnicas vindas de análise funcional e teoria de folheações contribuem para formação de uma base sólida para pesquisa na teoria ergódica diferenciável.

Conteúdo:

1. Teoria Ergódica de sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos: Dinâmica Simbólica, medidas de máxima entropia. Medidas de Sinai-Ruelle-Bowen.
2. Sistemas Dinâmicos não-uniformemente hiperbólicos e Teoria de Pesin: Variedades estáveis e continuidade absoluta, Fórmula de entropia, medidas hiperbólicas e decomposição ergódica.
3. Sistemas Dinâmicos Parcialmente hiperbólicos e abundância de ergodicidade: Folheações invariantes, classes de acessibilidade, conjectura de Pugh-Shub.

Forma de avaliação:

Seminários e provas.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
1.Rufus Bowen, Equilibrium states and the Ergodic theory of Anosov Diffeomorphisms. Second revised edition by Jean René Chazottes, Springer.
2.Luis Barreira, Yakov Pesin, Nonuniform hyperbolicity: Dynamics of Systems with Non-zero Lyapunov exponents (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)
3.Christian Bonatti, Lorenzo Diaz and Marcelo Viana, Dynamics beyond uniform hyperbolicity: A global geometric and probabilistic prespective. Encyclopedia of Mathematical Sciences, Springer.
4. Mark Pollicott, Lectures on Ergodic Theory and Pesin Theory on Compact Manifolds (London Mathematical Society Lecture Note Series)
5.Yakov Pesin, Lectures on Partial Hyperbolicity and Stable Ergodicity (Zurich Lectures in Advanced Mathematics)
6.A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of Dynamical Systems, encyclopedia of Mathematicsand its Applications, Cambridge University Press.
Complementares (se houver):