Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 20/05/2016

Nº de créditos: 8

Carga horária:

Teórica
Por semana
Prática
Por semana
Estudos
Por semana
Duração Total
4 0 4 15 Semanas 120 Horas

Docentes responsáveis:

Carlos Alberto Maquera Apaza


Objetivos:

A ideia central desta disciplina é introduzir o conceito de variedades diferenciáveis e o desenvolvimento de um estudo sobre a derivação e integração em variedades diferenciáveis. Com relação à derivação, pretende-se chegar à noção de métrica Riemanniana e aos conceitos de conexão afim e derivada covariante e geodésicas. Na parte de integração, temos por objetivo a apresentação do Teorema de Stokes em variedades, como principal generalização do Teorema fundamental do cálculo. Para isto é introduzido o conceito de formas diferenciáveis como campos tensoriais simétricos e a integração de formas em variedades.


Justificativa:

O estudo das variedades diferenciáveis, além de interesses intrínsecos, se mostra de extrema importância nas mais diversas áreas da matemática sendo, portanto, necessário para se ter uma boa formação em matemática em nível de mestrado. A melhor forma de se desenvolver este estudo é mostrar como estes conceitos são generalizações de conceitos básicos da Geometria Diferencial de curvas e superfícies, bem como generalizações dos cursos de cálculo diferencial e integral em uma ou mais variáveis. É essencial um estudo aprofundado sobre estes conceitos nas superfícies consideradas padrão, ou seja, os modelos da geometria plana, elíptica e hiperbólica, bem como os espaços projetivos reais e superfícies de diferentes genus, como o toro e a esfera.


Conteúdo:

I. Conceitos básicos (devem ser apresentados por meio de exemplos intuitivos para dar uma base sólida de informação aos alunos). I.1. Variedades diferenciáveis. I.2 Aplicações diferenciáveis entre variedades. I.3 O espaço tangente, campos de vetores e o campo tangente. Orientação. I.4. Caracterizações de variedades através de imersões, submersões, pontos e valores críticos e regulares. I.5. Variedades com bordo. I.6. Teorema de Sard, Transversalidade e estabilidade. II. Métricas Riemannianas (com o objetivo de se medir distâncias, ângulos e áreas em variedades é apresentado o conceito de métrica Riemanniana e mostrado que toda variedade pode ter uma métrica Riemanniana). II.1. Métrica Riemanniana e primeira forma fundamental. As métricas do toro. II.2. Geometrias das superfícies padrão, o plano Euclideano, o plano hiperbólico e a esfera. III. Conexões Riemannianas. (Principal objetivo da primeira parte do curso, esta seção é dedicada inicialmente ao estudo da derivada co-variante definida via transporte paralelo para em seguida apresentá-la via conexões afins até o teorema fundamental da Geometria Riemanniana e a conexão de Levi-Civita.) IV. Geodésicas (as geodésicas são apresentadas naturalmente como a generalização das retas no plano, ou seja como curvas com vetor tangente paralelo e principais propriedades). IV.1. Geodésicas. IV.2. Relação entre as geodésicas e a função exponencial através do Lema de Gauss. IV.3. Propriedades minimizantes das geodésicas. V. Tensores e campos tensoriais. (Com o objetivo de se chegar à definição das formas diferenciais via tensores, é introduzido o conceito de campo tensorial e vários exemplos de tensores). V. 1. Definição de tensor e campo tensorial. V.2. Exemplos de tensores: métrica Riemanniana, tensores de curvatura e tensores seccionais de Ricci. VI. Formas diferenciais e o Teorema de Stokes. VI.1. Formas diferenciais como tensores alternados. VI.2. Integração de formas diferenciais. VI.3. Teorema de Stokes em variedades.


Forma de avaliação:

Avaliações escritas.


Observação:

Nenhuma.


Bibliografia:

Bibliografia principal:
1. BURNS, K., and GIDEA, M. Differential geometry and topology: with a view to dynamical systems. Boca Raton: CRC Press, 2005.

Bibliografia complementar:
2. CARMO, MP. do. Differential forms and applications. Berlin: Springer-Verlag, 1994.
3. CARMO, MP. do. Geometria Riemanniana. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.
4. BOOTHBY, WM. An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. 2nd ed. Orlando: Academic Press, 1986.

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