Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 20/05/2016

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica
Por semana
Prática
Por semana
Estudos
Por semana
Duração Total
3 0 9 15 Semanas 180 Horas

Docentes responsáveis:

Daniel Smania Brandão


Objetivos:

Introduzir a dinâmica (discreta) de uma variável complexa aos alunos de mestrado e doutorado.


Justificativa:

A dinâmica complexa (discreta) é uma área da matemática que é atualmente muito ativa e cujos métodos e resultados têm grande influência em outras áreas dos sistemas dinâmicos. Deste modo entendemos que qualquer aluno interessado em estudar sistemas dinâmicos deve possuir um conhecimento básico sobre o tema.


Conteúdo:

I. A esfera de Riemann. Transformações racionais. II. Famílias normais de funções meromorfas. Teorema de Montel. Conjuntos de Fatou e Julia. III. Pontos periódicos e sua classificação. Densidade de pontos periódicos no conjunto de Julia. IV. Métrica hiperbólica e dinâmica complexa. V. Dinâmica local em torno de um ponto fixo. VI. Classificação dinâmica das componentes periódicas do conjunto de Fatou: atratores e superatratores, discos de Siegel, anéis de Herman, componentes parabólicas. VII. Não existência de componentes errantes no conjunto de Fatou. VIII. Conjugação entre transformações racionais. Transformações racionais estruturalmente estáveis. O teorema de Mañé-Sad-Sullivan. A conjectura de Fatou. A família quadrática e o conjunto de Mandelbrot.


Forma de avaliação:

Seminários, listas de exercícios e provas escritas.


Observação:

Poderemos abordar também outros tópicos relacionados, se o tempo permitir: sistemas dinâmicos iterados conformes: existência de medidas geométricas invariantes. Transformações quase-conformes. Transformações do tipo polinomial. Renormalização, dimensão de Hausdorff de conjuntos de Julia e outros tópicos.


Bibliografia:

Bibliografia principal:
1. MILNOR, J. Dynamics in one complex variable: Introductory lectures. 2nd ed. Braunschweig: Vieweg, 2000.

Bibliografia complementar:
2. MCMULLEN, CT. Complex dynamics and renormalization. Princeton, NJ: Princeton University Press. Annals of Mathematics Studies, 135.
3. CARLESON, L., and GAMELIN, TW. Complex dynamics. New York: Springer-Verlag, 2001.
4. BEARDON, AF. Iteration of rational functions. Complex analytic dynamical systems. New York: Springer-Verlag, 1991.
5. FARIA, E. de, and MELO, W. de. One dimensional dynamics: the mathematical tools. Rio de Janeiro: IMPA, 2001.
6. MELO, W. de, and STRIEN, S. van. One-dimensional dynamics. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

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