Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 20/05/2016

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Teórica
Por semana
Prática
Por semana
Estudos
Por semana
Duração Total
4 0 8 15 Semanas 180 Horas

Docentes responsáveis:

Miriam Garcia Manoel


Objetivos:

Este curso pretende abordar técnicas da teoria de singularidades que são aplicadas ao estudo de bifurcações de pontos de equilíbrio. O objetivo principal é aplicar a teoria no estudo de bifurcações no contexto com simetria, que tem sido tema de bastante interesse na pesquisa atual da comunidade de sistemas dinâmicos.


Justificativa:

O estudo de problemas de bifurcação com simetria e suas aplicações tem sido foco de importantes trabalhos de pesquisa. A teoria de singularidades é ferramenta importante na classificação de tais problemas de bifurcação e no estudo de suas perturbações locais.


Conteúdo:

Parte 1- Teoria de singularidades aplicada ao estudo de bifurcações de pontos de equilíbrio no contexto sem simetria com uma variável real e um parâmetro real de bifurcação: I. Introdução às idéias centrais. II. Bifurcação do tipo pitchfork.
III. Redução de Liapunov-Schmidt. IV. O problema do reconhecimento: classe de equivalência entre problemas de bifurcação, os espaços tangentes restrito e estendido, termos de ordem alta, baixa e intermediária, exemplos. V. Teoria do desdobramento: definição de desdobramento, desdobramento versal e universal de uma singularidade, o teorema do desdobramento universal, exemplos. VI. Diagramas de bifurcação, variedades de transição, diagramas de bifurcação persistentes de desdobramentos de uma singularidade, o teorema geométrico das variedades de transição, exemplos.
Parte 2 - Estudo de bifurcações no contexto com simetria. VII. Equações com simetria, exemplos. VIII. Teoria de grupos: representação e ação linear de um grupo de Lie compacto num espaço vetorial de dimensão finita, exemplos, subgrupo de isotropia e subespaço de ponto fixo, exemplos, a integral de Haar, ações irredutíveis e absolutamente irredutíveis, exemplos, o teorema da redutibilidade completa, aplicações invariantes e equivariantes, exemplos, quebra de simetria em bifurcações de pontos estacionários, teorema dos ramos equivariantes. IX. Desenvolvimento da teoria de singularidades aplicada à bifurcação com simetria, exemplos. Este programa propõe o desenvolvimento da Parte 1 em 5 semanas, concentrando as 10 semanas restantes no desenvolvimento da Parte 2.


Forma de avaliação:

Apresentação de seminários ao longo do semestre.


Observação:

Nenhuma.


Bibliografia:

Bibliografia principal:
1. GOLUBITSKY, M., and SCHAEFFER, D. Singularities and groups in bifurcation theory. New York: Springer Verlag, 1985.
2 GOLUBITSKY, M., STEWART, I., and SCHAEFFER, D. Singularities and groups in bifurcation theory. New York: Springer Verlag, 1988.

Bibliografia complementar:
3. BAPTISTELLI, PH., and MANOEL, M. The classification of reversible-equivariant steady-state bifurcations on self-dual spaces. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 2008, vol. 145, no. 2, 379-401.
4. MANOEL, M., AND ZELI, IO. Complete transversals of symmetric vector fields. J. Singul., 2015, vol. 12, 124-130.

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