Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 02/06/2026

Nº de créditos: 12

Carga horária:

Docentes responsáveis:

Objetivos:

Desenvolver a teoria de formas diferenciais em variedades suaves, incluindo operações fundamentais como o produto exterior, a derivada exterior e a derivada de Lie, bem como a integração de formas, culminando no Teorema de Stokes. Introduzir a cohomologia de de Rham e seus principais resultados estruturais, tais como o lema de Poincaré, invariância por homotopia e sequências exatas de Mayer–Vietoris.

Justificativa:

A teoria de formas diferenciais constitui uma linguagem central da geometria diferencial moderna, permitindo unificar aspectos de análise, topologia e geometria em variedades diferenciáveis. O Teorema de Stokes estabelece um elo fundamental entre cálculo e topologia, conduzindo naturalmente à cohomologia de de Rham, um dos principais invariantes topológicos de variedades suaves.

A organização do curso em torno da teoria de formas diferenciais permite uma abordagem conceitualmente unificada e progressiva, na qual estruturas algébricas, propriedades diferenciais e resultados globais são apresentados de forma integrada. A introdução à cohomologia de de Rham fornece um primeiro contato com métodos topológicos na geometria diferencial, com aplicações clássicas como a teoria do grau.

Conteúdo:

I. Álgebra multilinear e formas diferenciais
Álgebra tensorial: tensores covariantes e contravariantes, contração e simetrias. Álgebra exterior e produto wedge. Campos de tensores em variedades. Formas diferenciais. Pullback. Operador de inserção. Derivada de Lie e fórmula de Cartan. Derivada exterior e suas propriedades. Métricas riemannianas como exemplos fundamentais de tensores.

II. Integração de formas diferenciais
Orientação em variedades e orientação induzida no bordo. Integração de formas diferenciais. Teorema de Stokes. Forma volume riemanniana. Interpretação geométrica da divergência via derivada de Lie e fórmula de Cartan. Aplicação do Teorema de Stokes à unificação dos teoremas clássicos do cálculo vetorial.

III. Cohomologia de de Rham
Formas fechadas e exatas. Lema de Poincaré. Cohomologia de de Rham. Invariância por homotopia. Sequência de Mayer–Vietoris e cálculo da cohomologia em exemplos básicos. Aplicação: teoria do grau de aplicações suaves e contínuas entre variedades e demonstração do teorema do ponto fixo de Brouwer.

Forma de avaliação:

A avaliação será realizada por meio de provas escritas (peso 80%) e seminários ou listas de exercícios (peso 20%).

A nota final será calculada como a média ponderada dessas atividades.

Para aprovação, o estudante deverá obter nota final mínima igual a 5,0.

Os conceitos (A, B, C e R) serão atribuídos conforme a escala vigente na pós-graduação da USP.

Observação:

Nenhuma.

Bibliografia:

Fundamentais:
KOBAYASHI, S.; NOMIZU, K. Foundations of differential geometry. New York: Wiley, 1996. v. 1.
LEE, J. M. Introduction to smooth manifolds. New York: Springer, 2006.
WARNER, F. W. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Glenview: Scott, Foresman and Co., 1971.
MORITA, S. Geometry of differential forms. Providence: American Mathematical Society, 2001.

Complementares:
NICOLAESCU, L. I. Lectures on the geometry of manifolds. 3rd ed. Singapore: World Scientific, 2020.
SPIVAK, M. A comprehensive introduction to differential geometry. 2nd ed. Boston: Publish or Perish, 1979. v. 1.
BOTT, R.; TU, L. W. Differential forms in algebraic topology. New York: Springer, 1982.