Área de concentração: 55135 - Matemática

Criação: 02/06/2026

Nº de créditos: 10

Carga horária:

Docentes responsáveis:

Objetivos:

O objetivo do curso é apresentar aos(às) estudantes os elementos fundamentais da teoria de singularidades de aplicações diferenciáveis.

Justificativa:

A teoria de singularidades estuda o comportamento local das aplicações diferenciáveis. Ela interage com
diversas áreas da matemática, tais como geometria diferencial e algébrica, topologia e sistemas dinâmicos, e seus métodos são úteis no estudo de certos problemas das ciências aplicadas, entre as quais a Física e a Engenharia.

Conteúdo:

I. Noções de variedades diferenciáveis e aplicações.
II. Transversalidade: germes; ponto singular; teorema da função inversa para germes; rank de um germe; conjunto singular; conjunto de bifurcação; teorema de Sard; lema básico de transversalidade; jatos; a topologia de Whitney; teorema da transversalidade de Thom; estabilidade; exemplos de estabilidade usando transversalidade.
III. Ações de grupos de Lie; lema de Mather.
IV. As álgebras En e On: definições; lema de Hadamard; lema de Borel; lema de Nakayama; espaço tangente a um germe f em En segundo o grupo R; o módulo En,p; homomorfismo induzido; número de Milnor.
V. Germes finitamente determinados: definição; critério para determinação finita (grupo R).
VI. Classificação de germes de funções: lema de Morse; splitting lemma; a singularidade Ak; a transversal completa; classificação de singularidades de corank 2 usando a transversal completa; singularidades simples e o teorema de Arnold; diagramas de bifurcação.
VII. Desdobramentos: definição; deformação versal.
VIII. Hipersuperfícies com singularidades isoladas. Propriedades do número de Milnor.
IX.Germes de aplicações diferenciáveis: o grupo K; espaço tangente; desdobramentos; estabilidade infinitesimal; germes estáveis em dimensões baixas.

Forma de avaliação:

Critérios de avaliação: A avaliação será composta por duas provas escritas: Prova 1 (P1) e Prova 2 (P2), com pesos iguais de 50% cada. A média final será dada por

M = 0,5*P1 + 0,5*P2.

A atribuição de conceitos seguirá:
A (Excelente): M≥8,5;
B (Bom): 7,0&#8804;M<8,5;
C (Regular): 5,0&#8804;M<7,0;
R (Reprovado): M<5,0.

Observação:

Dependendo do número de estudantes e, em comum acordo com a turma, as provas escritas podem ser substituídas por seminários ou avaliações orais.

Bibliografia:

Fundamentais:
GIBSON, C. G. Singular points of smooth mappings. Boston: Pitman, 1979. (Research Notes in Mathematics, v. 25).
MOND, D.; NUÑO-BALLESTEROS, J. J. Singularities of mappings. Cham: Springer, 2020. (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, v. 357). DOI: 10.1007/978-3-030-34440-5.
TARI, F. Singularidades de aplicações diferenciáveis. São Carlos: ICMC-USP, 1999. (Notas Didáticas do ICMC, n. 34).

Complementares:
EBELING, W. Functions of several complex variables and their singularities. Providence: American Mathematical Society, 2007. (Graduate Studies in Mathematics, v. 83).
IZUMIYA, S.; ROMERO FUSTER, M. C.; RUAS, M. A. S.; TARI, F. Differential geometry from a singularity theory viewpoint. Hackensack: World Scientific, 2016.
MARTINET, J. Singularités des fonctions et applications différentiables. 2. ed. Rio de Janeiro: PUC-Rio, 1977. (Monografias de Matemática, n. 1).