Nesta dissertação são investigados os sistemas diferenciais com integral primeira do tipo Morse-Bott definidos em superfícies compactas e orientáveis. A cada sistema, nas condições acima descritas, associa-se um grafo de modo que a correspondência entre os grafos e as classes de equivalência topologica orbital dos campos investigados seja bijetiva. Portanto, apresenta-se um invariante completo, chamado aqui de grafo de Bott, para essa classe de sistemas. Essa abordagem surgiu como uma iniciativa de generalizar o estudo realizado para sistemas Hamiltonianos com um grau de liberdade com integral primeira do tipo Morse definidos em superfícies 2-dimensionais compactas, onde os conceitos de átomos e fluxos gradiente foram aplicados por A.V. Bolsinov em [4]

Neste trabalho, estudamos a relação que existe entre o número de Milnor de um polinômio cômodo ou seja, a soma dos números de Milnor dos pontos singulares isolados deste polinômio, com seu número de Newton. Este número é sempre menor ou igual ao número de Newton e a igualdade entre os números é obtida sempre que o polinômio cômodo possui parte principal Newton não-degenerada no infinito

Neste trabalho,apresentamos um breve compêndio sobre o estudo topológico das fibras de Milnor. Abordamoso caso clássico, estudado por J. Milnor, e a generalização apresentada por Lê D. T. para o caso de germes de funções analíticas definidas em variedades singulares. Nestas duas situações, os resultados principais tratam de germes de funções com singularidades isoladas

Denotemos por X ~ p 'S POT. m' x 'S POT. n' um espaço finitístico com anel de cohomologia módulo p isomorfo ao anel de cohomologia de um produto de esferas 'S POT. m' x 'S POT. n', o qual admite ação livre do grupo cíclico G = Zp, com p um primo ímpar. Nosso objetivo neste trabalho é determinar o anel de cohomologia do espaço de órbitas X / G, usando como ferramenta principal a seqüência espectral de Leray-Serre associada à fibração de Borel X 'SETA' 'imath' X G 'SETA' 'pi' B G, onde BG é o espaço classificante do G-fibrado universal wG = (EG;BG; pG; G;G) e XG = EG x G X é o espaço de Borel. Este resultado foi provado por R. M. Dotzel, T. B. Singh and S. P. Tripathi em [14]

Seja L '= PONTO' '\partial IND. t' + ['a(t) + ib (t)] '\partial IND. x' um operador diferencial parcial agindo em distribuições definidas no toro bidimensional 'T POT. 2'; onde a; b : 'T POT. 1' ' SETA' R são funções analíticas reais. Suponhamos que L não ée globalmente analítico hipoelítico e b não é uma função identicamente nula. O objetivo principal deste trabalho é o estudo das soluções singulares de L; através da natureza e da localização das suas singularidades. Com este intuito, primeiramente abordaremos a teoria das séries parciais de Fourier, que nos permitem relacionar o comportamento assintótico dos coeficientes parciais de Fourier de um dado objeto com a regularidade do mesmo

Nesta dissertação, estudamos as órbitas de uma família D de campos vetoriais suaves em uma variedade suave M. O objetivo é demonstrar dois teoremas de Sussmann: o primeiro teorema diz que as órbitas são subvariedades integrais de uma certa distribuição 'P IND. D' de vetores tangentes em M. O segundo teorema dá condições necessárias e suficientes para que 'P IND. D' seja igual à distribuição gerada pelos campos de D. Como aplicação, estudamos uma caracterização da condição (P) de Nirenberg-Treves para campos vetoriais complexos em 'R POT. 2'

Neste trabalho estudamos alguns resultados importantes sobre a teoria das subvariedades bi-harmônicas de espaços homogêneos tridimensionais. Existem três classes de espaços homogêneos tridimensionais simplesmente conexos dependendo da dimensão do grupo de isometrias, que pode ser: 3, 4 ou 6. No caso da dimensão ser 6, M é uma forma espacial; se a dimensão do grupo de isometrias for 4, M é isométrica a: 'H IND. 3' (grupo de Heisenberg), SU(2) (grupo unitário especial), ~SL(2,R) (revestimento universal do grupo linear especial), ou aos espaços produtos 'S POT. 2' × R e 'H POT. 2' × R. Feita exceção para 'H POT. 3', no caso da dimensão ser 4 ou 6 o espaço homogêneo é localmente isométrico a (uma parte de) 'R POT. 3', munido de uma métrica que depende de dois parâmetros reais. Tal família de métricas aparece primeiramente no trabalho [3] de L. Bianchi e, mais tarde, nos artigos [14, 35] de É. Cartan e G. Vranceanu, respectivamente. Nesse projeto de mestrado, queremos estudar (essencialmente) resultados de existência e classificação de subvariedades bi-harmônicas nesses espaços, também conhecidos como variedades de Bianchi-Cartan-Vranceanu

Estudaremos sistemas dinâmicos complexos da esfera de Riemann, e empregaremos técnicas do Formalismo Termodinâmico incluindo a fórmula de Bowen para provar que a dimensão de Hausdorff 'dim IND. H' J( 'f IND. lâmbda' ) do conjunto de Julia J( 'f IND. lâmbda' ) de uma família holomorfa de funções racionais hiperbólicas f 'lambda' define uma função real analítica do parâmetro 'lambda' . Este resultado foi provado por Ruelle [44] em 1981. Daremos uma prova alternativa usando movimentos holomorfos. Trata-se de uma técnica inovadora, originalmente desenvolvida por Mañé, Sad e Sullivan no trabalho [31] sobre estabilidade estrutural de sistemas dinâmicos complexos

O teorema clássico de Borsuk-Ulam nos dá informações à respeito de aplicações 'S POT. n' 'SETA' 'R POT. n', no qual 'S POT. n' é um 'Z IND. 2' -espaço livre. O teorema afirma que existe pelo menos uma órbita que é enviada em um único ponto em 'R POT. n'. Dold [9] estendeu este problema para o contexto de fibrados, considerando aplicações f : S (E) 'SETA' 'E POT. 'prime'' nos quais preservam fibras; aqui, S (E) denota o espaço total do fibrado em esfera sobre B associado ao fibrado vetorial E 'SETA' B e 'E POT. 'prime'' 'SETA' B é o outro fibrado vetorial. O objetivo desse trabalho é provar esta versão do teorema de Borsuk-Ulam obtida por Dold, chamada versão parametrizada do teorema de Borsuk-Ulam. Nós também provamos uma versão cohomológica deste problema

Um dos mais investigados problemas na teoria qualitativa dos sistemas dinâmicos no plano é o XVI problema de Hilbert que trata dos ciclos limites. Mais precisamente, a segunda parte do referido problema questiona sobre o número máximo de ciclos limites de um sistema diferencial polinomial plano de grau n. Por ciclo limite entendemos uma órbita fechada isolada no conjunto de todas as órbitas periódicas de um sistema diferencial plano.Uma maneira clássica de obter um ciclo limite é perturbando um sistema com uma singularidade do tipo centro. Nesta dissertação apresentamos dois métodos utilizados para a análise do número de ciclos limites que bifurcam de um centro, a saber o método das integrais abelianas e o método do averaging

O tema em estudo é a resolubilidade global de campos vetoriais em 'T POT. 2 IND. (x,t)' da forma L = '\partial IND. t' +a(x) '\PARTIAL IND. x', onde a 'PERTENCE' 'C POT. INFINITO' ('T POT. 1' ) é uma função real. Consideraremos o caso em que o operador L age no espaço de funções e o caso em que L age no espaço de distribuições. Utilizando teoria de distribuições, forneceremos condições necessárias e sufiientes para que a imagem de L seja um subespaço fechado, ou seja, para que L seja globalmente resolúvel. O caso mais interessante ocorre quando a função a se anula em algum ponto mas não é identicamente nula; neste caso, L será globalmente resolúvel se, e somente se, 'a POT. -1' (0) contiver apenas zeros de ordem finita. Faremos também o estudo da resolubilidade global de operadores da forma P = '\PARTIAL IND. t' + \PARTIAL IND. x' ('a AST .'), os quais são perturbações por um termo de ordem zero dos campos da forma L. Os operadores da forma P surgem quando consideramos o transposto de um operador da forma L

Neste trabalho,estudamos o índice de Poincaré-Hopf, definido para singularidades isoladas de campos de vetores sobre variedades diferenciáveis. Além disso, investigamos algumas definições de índices de campos de vetores definido sem variedades singulares, como o índice de Schwartz e o índice GSV. Estudaremos estes invariantes no caso específico em que (V; 0) é um germe de uma interseção completa com singularidade isolada na origem

Dada uma superfície M, definiremos os grupos de tranças de M, denotado por 'B IND. n' (M), geometricamente e usando a noção de espaços de confiuração. Mostraremos a equivalência das definições. Na mesma linha de raciocínio, definiremos os grupos de tranças puras de superfícies 'P IND. n' (M). Apresentaremos as propriedades mais importantes dos grupos de tranças do plano e mostraremos que 'B IND. n' ('R POT. 2') injeta em 'B IND. n' (M), para muitas superfícies M. Mais detalhadamente, obteremos a apresentação de 'B IND. n' ('RP POT. 2' ) e 'P IND. n'('RP POT. 2')

James W. Alexander, no artigo[1],mostra que se tivermos um mergulho PL f : 'S POT. 1' × 'S POT. 1' 'S POT. 3', então o fecho de uma das componentes conexas de 'S POT. 3' f('S POT. 1' × 'S POT. 1') é homeomorfo a um toro sólido, isto é, homeomorfo a 'S POT. 1' × 'D POT. 2'. Este teorema ficou conhecido por Teorema do toro de Alexander. Nesta dissertação, estamos detalhando a demonstração deste teorema feita em[25] que é diferente da demonstração apresentada em [1]. Mais geralmente, para um mergulho diferenciável f : 'S POT. p' × 'S POT. q' 'S POT. p + q+1' , demonstra-se que o fecho de uma das componentes conexasde 'S POT. p +q + 1' f('S POT. p' × 'S POT. q') é difeomorfo a 'S POT. p' × 'D POT. q + 1' se p q 1 e p + q 'DIFERENTE DE' 3 ou se p = 2 e q = 1 um dos fechos será homeomorfo a 'S POT. 2' × 'D POT. 2' , nesta dissertação estaremos também detalhando estas demonstrações feita em [20]