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Informações gerais
A integral de Henstock-Kurzweil, introduzida em 1957-62 por J. Kurzweil e, independentemente, por R. Henstock, dá uma definição riemanniana para as integrais equivalentes de Denjoy fraca e de Perron que contêm as integrais de Newton, Riemann e Lebesgue bem como suas integrais impróprias.As funções que são integráveis no sentido de Henstock-Kurzweil não são necessariamente absolutamente integráveis. Mas qualquer função absolutamente integrável, também é Henstock-Kurzweil integrável.
Também conhecida como integral de Riemann generalizada ou Integral de Riemann completa, a integral de Henstock-Kurzweil possui boas propriedades funcional analíticas e de convergência. Além disso, sua definição pode ser extendida facilmente para funções definidas em intervalos ilimidatos e para funções a valores em espaços de Banach.
A característica principal da integral não-absoluta de Henstock-Kurzweil é o fato de poder integrar funções que não só tenham muitas descontinuidades, mas também que possam oscilar bastante como é o caso, por exemplo, da função f definida no intervalo [0,1] a valores reais tal que f(t)=F'(t), onde F(t)=t^2sen(1/t^2) em ]0,1] e F(0)=0.
Com uma simples
modificação em sua definição, a integral de
Riemann generalizada dá origem a uma integral mais restrita
equivalente à integral de Lebesgue. Este fato surpreendente
dá uma definição construtiva para a integral de
Lebesgue por meio de somas de Riemann e permite a
aplicação das ferramentas da Teoria de
Integração de Henstock-Kurzweil no tratamento de
problemas que envolvam funções com muitas
descontinuidades
e Lebesgue integráveis. Neste sentido, em se tratando do estudo
de
equações diferenciais ou integrais, por exemplo, a Teoria
de
Integração de de Henstock-Kurzweil vem se firmando como
ponte
entre as teorias classicas e teorias mais modernas concentradas em
soluções
fracas das equações.
Livros-textos na área
Alguns textos que contêm tópicos da teoria geral da integral de Riemann generalizada são: