SMA5771: Álgebra Comutativa

Álgebra Comutativa na Vida Real

No aeroporto de Atlanta:

fibre

E no departamento de Química:

local

O que há de novo?

As duas últimas listas já estão disponíveis. Para a última prova, uma das questões será igual a um item da questão 1 da lista 5 (cálculo de dimensão) e outra será um pedaço da demonstração do teorema de Krull (mas qual pedaço eu não vou dizer!)
As listas 2 e 3 já estão disponíveis, divirtam-se!
Na página do Grupo de Álgebra do ICMC, você pode encontrar alguns exames de qualificação (veja material on-line).

O que é Álgebra Comutativa?

É o complementar da Álgebra Não Comutativa, ora bolas! Mais especificamente, Álgebra Comutativa é o estudo de anéis comutativos e módulos sobre estes anéis. Mas mesmo que você esteja interessado em anéis não comutativos (como é o meu caso) veremos que diversas técnicas da Álgebra Comutativa são úteis para o estudo da Álgebra Não Comutativa e vice-versa!

Afinal, por que estudar Álgebra Comutativa?

A resposta curta: porque é legal. Como bônus extra, Álgebra Comutativa também é útil, em especial para a Geometria Algébrica e para a Teoria dos Números, como veremos em alguns exemplos. Mas, cá entre nós, a principal razão ainda continua sendo porque ela é uma matéria muito legal!

Referências

Algumas referências úteis. Outras serão incluídas mais tarde.

Eis a bíblia: EGA
Mais sobre a vida e a obra de Grothendieck pode ser vista em Grothendieck Circle

Aqui estão algumas referências em Álgebra Comutativa:

H. Matsumura, "Commutative Algebra" (o melhor, na minha opinião)
H. Matsumura, "Commutative Ring Theory" (uma versão mais completa do livro anterior: "tudo o que você não queria saber sobre álgebra comutativa")
D. Eisenbud, "Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry (GTM)" (uma versão diluída do Matsumura, mas muito bom, fácil de ler)
F. Atiyah & I. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra" (bom livro, mas não cobre tudo)
J.-P. Serre, "Local Algebra" (excelente livro, direto ao ponto, um pouco seco, mas ainda excelente!)
M. Reid, "Undergraduate Commutative Algebra" (bom livro introdutório)
J. S. Milne, A Primer of Commutative Algebra (notas de aula, bom ponto de partida)

E aqui outras sobre esquemas:

D. Mumford, "The Red Book of Varieties and Schemes" (excelente livro, um tanto sketchy, mas foi completando os detalhes que eu aprendi a teoria!)
Q. Liu, "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves" (excelente livro, mais voltado para aplicações aritméticas, mas afinal quem não gosta de Teoria dos Números?)
Miyanishi, M. "Algebraic Geometry (AMS)" (um pouco formal demais pro meu gosto, mas uma ótima referência, com provas claras e precisas, e um capítulo introdutório cobrindo todos os pré-requisitos)
D. Eisenbud & J. Harris, "The Geometry of Schemes (GTM)" (infelizmente não tem detalhes, mas bom para ganhar intuição sobre o assunto)
R. Hartshorne, "Algebraic Geometry" (o livro standard, mas excessivamente formal, é um bom resumo se você já sabe a teoria)

A parte burocrática do curso

Resumo

Eis um resumo de toda a matéria. Lembre-se: este é apenas um resumo, não é um substituto a leitura e consulta dos livros da bibliografia! Este resumo estará em construção durante todo o semestre; cheque periodicamente para obter a versão mais atual com as correções e adições.

Listas de exercícios

Provas

Serão 3 provas. As datas são

P1: 15 de abril
P2: 13 de maio
P3: 24 de junho

As provas serão INTEIRAMENTE BASEADAS NAS LISTAS. Então se você souber resolver todas as questões das listas você terá nota 10! (Nota dez, não dez fatorial) Logicamente, eu vou modificar um pouco as questões para me certificar de que você realmente aprendeu a resolver a questão e não apenas decorou a resposta.

Aliás, um conselho (válido para outras matérias também): o cérebro humano guarda com muito mais facilidade aquilo que tem estrutura do que coisas desestruturadas. Então, ao estudar, procure REALMENTE entender o porquê da solução, não fique contente somente em acertar a resposta após várias tentativas "aleatórias". Procure fazer um pequeno "resumo" da solução com as idéias chaves: mesmo a mais complicada das demonstrações em Matemática baseia-se em umas poucas idéias verdadeiramente simples (mas em geral difíceis de serem implementadas), então é fácil lembrar a estrutura global da prova. Você verá que este é o meio mais rápido de aprender algo.