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Porque Estudar Cálculo

No que segue apresentamos alguns exemplos que pretendem demosntrar que a matemática desenvolvida até o final do ensino médio é insuficiente para atacar alguns problemas importantes com os quais nos deparamos.

Começamos recordando um problema elementar de física do ensino médio.

Exemplo 1.1.1 (Lançamento Oblíquo de um Projétil)   Imagine que, em uma batalha, saibamos que os projéteis lançados pelos nossos canhões tenham velocidade $ V_0$ ao sair do canhão e que o inimigo situa-se a uma distância $ d$ de nossos canhões. Qual é ângulo de disparo para que o alvo seja atingido? Qual é o alcance máximo de nossos canhões? Qual é a altura máxima que o projétil alcançará?


\begin{picture}(640,220)(0,58)
\bezier{9}(165,202)(169,205)(174,208)
\bezier{13}...
... \put(603,59){\line(0,1){12}}
\put(635,70){$x$} \put(411,218){$y$}
\end{picture}

Solução: Em primeiro lugar, para resolver este problema, é preciso encontrar um modelo matemático para o lançamento oblíquo de um projétil. Para encontrar este modelo fazemos algumas suposições:

Suponhamos que

Seja $ m$ a massa do projétil. A velocidade inicial $ V_0$ do projétil pode ser decomposta em velocidade vertical e velocidade horizontal iniciais, isto é


\begin{picture}(640,180)(0,40)
\put(373,162){$V_0$} \put(303,101){$\scriptstyle ...
...ultiput(247,93)(10,0){15}{\rule{4pt}{0.3pt}} %tracejado horizontal
\end{picture}

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
V_{v}^0= V_0\hbox{sen}{\theta},\\
V_{h}^0= V_0\hbox{cos}{\theta}.
\end{array}\end{displaymath}

Se $ g$ denota a aceleração da gravidade a velocidade vertical depende do tempo através da relação

$\displaystyle \fbox{$V_v(t) = V_0\hbox{sen}{\theta}-gt$}$ (1.1.1)

enquanto que a velocidade horizontal é constante ao longo do tempo. O projétil atingirá a altura máxima no instante $ t_M$ tal qua $ V_v(T_M)=0$, ou seja

$\displaystyle \fbox{$t_M=\frac{V_0}{g}\hbox{sen}{\theta}.$}$ (1.1.2)

Como obter a altura do projétil como função do tempo? Note que o gráfico da velocidade vertical como função do tempo é


\begin{picture}(640,260)
\put(260,5){$t_i$} \put(165,13){$t_{i-1}$}
\put(219,38)...
...\bezier{40}(239,63)(259,55)(259,23) \put(259,23){\vector(0,-1){2}}
\end{picture}

Se $ t>0$ e $ t_0<t_1< \cdots < t_n=t$ é uma subdivisão do intervalo $ [0,t]$ e $ \Delta t_i = t_i-t_{i-1}$. Como em cada intervalo $ [t_{i-1},t_i]$ a velocidade é aproximadamente igual a $ V_v(t_{i-1})$ temos que neste intervalo o deslocamento vertical é aproximadamente igual a

$\displaystyle \Delta y_i = y(t_i)-y(t_{i-1})\sim V_v(t_{i-1}\Delta t_i
$

e o deslocamento vertical correspondente ao intervalo de tempo $ [0,t]$ é aproximadamente igual a

$\displaystyle y=\sum_{i=1}^n \Delta y_i \sim \sum_{i=1}^n V_v(t_{i-1}\Delta t_i
\sim A
$

onde por $ \sim$ queremos espressar o fato que a medida que o comprimento dos intervalos $ [t_i,t_{i-1}]$ se aproxima de zero $ y$ se aproxima mais e mais da área $ A$ sob o gráfico da velocidade no intervalo $ [0,t]$. Como

$\displaystyle A= V_0\hbox{sen}{\theta} t - \frac{1}{2} g t^2,
$

segue que

$\displaystyle \fbox{$y(t) = V_0 \hbox{sen}{\theta} t - \frac{1}{2} g t^2$}$ (1.1.3)

é o deslocamente vertical do projétil (altura do projétil depois de decorridos $ t$ unidades de tempo).

O deslocamenteo horizontal ocorre com velocidade constante $ V_h=
V_0\cos{\theta}$. Logo

$\displaystyle \fbox{$x(t)=V_0 \cos{\theta} t$}$ (1.1.4)

De posse do modelo matemático para os deslocamentos horizontal e vertical estamos preparados para resolver o problema proposto:


O que voce observa sobre a matemática contida neste exemplo?

  1. O procedimento para obtenção do deslocamento vertical é bastante convincente mas requer uma melhor justificativa. O processo de fazer $ \Delta t_i$ pequeno (tender a zero) exige uma melhor formulação que é dada pela noção de limite.

  2. Se a velocidade depende do tempo de uma forma mais complicada podemos não ser capazes de encontrar a área sob o gráfico $ A$ de forma tão simples. Por exemplo, o projétil podeser impulsionado durante o precurso (como ocorre no lançamento de foguetes). Deparamos então com o problema de calcular a área sob o gráfico de uma função


    \begin{picture}(640,240)(0,23)
\put(451,23){$t$} \put(319,23){$S$} \put(255,95){...
...put(157,43){\vector(1,0){290}}
\put(500,153){$A = $\ deslocamento}
\end{picture}

    cuja resposta requer a introdução do conceito de integral.

  3. Quando a massa do projétil depende do tempo a segunda lei de Newton precisa de uma outra formulação para sermos capazes de equacionar o movimento e mesmo a velocidade instantânea para ser obtida como função do deslocamento precia da introdução do conceito de integral


    \begin{picture}(640,250)(0,23)
\put(20,152){$x(t+h)$} \put(50,125){$x(t)$} \put(...
...{c}\~{a}o do segmento}
\put(459,80){$[(t,x(t)),(t+h\,,\,x(t+h))]$}
\end{picture}

    A velocidade média $ V_m$ no intervalo $ [t,t+h]$ é dada por $ \fbox{$V_m=\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$}$ e é a inclinação do segmento $ [(t,x(t)),(t+h,x(t+h))]$


    \begin{picture}(640,250)(0,23)
\put(355,28){$t$} \put(104,23){$s$} \put(325,114)...
...9,128){tangente ao gr\'{a}fico}
\put(509,103){de $x(t)$\ em $t=s$}
\end{picture}

    A velocidade instantânea $ V_i$ no instante $ t$ é dada por $ \fbox{$V_i=\lim_{h\to 0}\frac{x(t+h)-x(t)}{h}$}$ e é a inclinação da reta tangente ao gráfico de $ x$ no instante $ t$.

    Aqui precisamos da noção de limite para definir a velocidade instantânea. O limite que define a velocidade instantânea é chamado derivada de $ x$ no instante $ t$.

Exemplo 1.1.2   Conhecido o deslocamento como função do tempo determinar a velocidade instantânea para cada instante de tempo.

Vamos considerar os casos de Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado.


Movimento Uniforme Se um corpo se move ao longo de uma reta deslocando-se segundo a equação

$\displaystyle x(t)=x_0+ v_0 t
$

então, a velocidade em cada instante $ t$ é obtida fazendo

$\displaystyle \frac{x(t+h)-x(t)}{h} = v_0, \quad h>0 \quad \hbox{pequeno}
$

e desta forma a velocidade em cada instante é $ v_0$.


Movimento Uniformemente Variado

Se um corpo se move ao longo de uma reta deslocando-se segundo a equação

$\displaystyle x(t)= x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2
$

então, a velocidade em cada instante $ t$ é obtida fazendo

$\displaystyle \frac{x(t+h)-x(t)}{h} = v_0 + at + \frac{a}{2} h, \quad h>0\quad \hbox{pequeno}
$

logo, no instante $ t$ a velocidade $ v(t)$ é

$\displaystyle v(t) = v_0+at.
$


\begin{picture}(640,240)
\put(157,43){\vector(1,0){290}} \put(267,3){\vector(0,1...
...} \put(232,78){$x(t)$}
\put(286,20){$x(t)$} \put(360,20){$x(t+h)$}
\end{picture}

A aceleração é obtida da velocidade da seguinte forma

$\displaystyle \frac{v(t+h)-v(t)}{h}= a, \quad a>0\quad \hbox{pequeno}
$

então a aceleração em cada instante $ t$ é $ a$.

Observação: Quando o movimento tem expressões mais complicadas como determinar a velocidade e a aceleração? Novamente vamos precisar das noções de limite e derivada.

Exemplo 1.1.3   Cálculo do comprimento de uma curva dada como gráfico de uma função.


\begin{picture}(640,220)(0,23)
\put(403,123){$x=f(t)$} \bezier{104}(291,131)(339...
...ut(170,208){$x$}
\put(157,43){\vector(1,0){290}} \put(454,28){$t$}
\end{picture}

Vamos considerar alguns casos particulares


\begin{picture}(640,252)(0,-10)
\put(70,122){$a$} \put(214,186){$L$} \put(130,12...
...}
\put(407,85){$= \sqrt{1+b^2}(t_2-t_1)=\sqrt{1+b^2} \, \Delta t$}
\end{picture}

Se, por outro lado, $ f$ tem uma poligonal por gráfico


\begin{picture}(640,220)(0,23)
\put(87,23){\vector(0,1){190}} \put(55,43){\vecto...
...0,175){$b_i=\displaystyle
\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{t_i-t_{i-1}}$}
\end{picture}

$\displaystyle L= \sum_{i=1}^n \sqrt{1+b_i^2}\ (t_i-t_{i-1}).
$

No caso geral


\begin{picture}(640,220)(0,23)
\put(43,167){$f(t_2)$} \put(43,121){$f(t_1)$}
\pu...
...\bezier{246}(251,157)(271,134)(291,111)
\put(291,111){\circle*{4}}
\end{picture}

Para obter o valor exato vamos precisar introduzir as noções de limite, derivada e integral,

$\displaystyle L=\int_a^b \sqrt{1+ f'(t)^2}dt
$

Exemplo 1.1.4   A área de uma circunferência.

O quociente entre o comprimento de uma circunferência e o diâmetro é um número real denotado por $ \pi$.


\begin{picture}(640,200)(0,33)
\bezier{150}(146,103)(147,133)(166,152)
\bezier{1...
...184,85){$d$}
\put(240,77){$r$} \put(410,130){$L=\pi\,d = 2\pi\,r$}
\end{picture}

Vamos determinar a área da circunferência de raio $ r$. A idéia de Archimedes (287-212 a.c.) foi dividir a circunferência em setores de igual área e reagrupá-los da seguinte forma


8 Setores


\begin{picture}(640,240)(0,33)
\bezier{150}(46,103)(47,133)(66,152)
\bezier{150}...
...398,118)(425,128)(452,118)
\bezier{154}(452,118)(479,128)(506,118)
\end{picture}

16 Setores


\begin{picture}(640,172)(0,33)
\put(404,33){$\pi r$} \put(556,87){$r$}
\bezier{7...
...{164}(117,103)(85,89)(53,76)
\bezier{164}(117,103)(84,117)(51,131)
\end{picture}

quanto maior o número de setores, na divisão acima, mais a área se aproxima de $ \pi r . r= \pi r^2$.

A demonstração deste resultado envolve o conceito de limite. Se dividimos a circunferência em $ n$ setores iguais temos


\begin{picture}(640,170)(0,33)
\bezier{164}(317,103)(349,116)(382,131)
\put(367,...
...ezier{150}(367,153)(378,128)(388,103)
\put(373,130.5){\circle*{2}}
\end{picture}

$\displaystyle A\sim 2 n . r \hbox{sen}{\frac{\pi}{n}}. r \cos\frac{\pi}{n}. \frac{1}{2}\sim
\pi r^2 . \frac{\hbox{sen}{\pi/n}}{\pi/n} . \cos{\pi/n}.
$

Se $ n$ é grande $ \cos{\pi/n}\sim 1$ e $ \frac{\hbox{sen}\pi/n}{\pi/n}\sim 1$ (primeiro limite fundamental) e teremos

$\displaystyle A= \pi r^2
$

é, portanto, fundamentel entendermos o processo de passagem ao limte para encontrarmos soluções para problemas simples como o cálculo da área de um círculo.

Exemplo 1.1.5   Cuidado!

Recorde a fórmula da soma de uma Progressão Geométrica de razão menor que um

$\displaystyle 1+ r + r^2 + \cdots + r^n = \frac{1- r^{n+1}}{1-r}, \quad \vert r\vert<1.
$

Quanto maior o valor de $ n$ menor é o valor de $ r^{n+1}$ e mostraremos que $ r^{n+1}$ tende a zero quando $ n$ tende a infinito. Desta forma a soma

$\displaystyle 1+ r + r^2 + \cdots + r^n+ \cdots = \frac{1}{1-r}, \quad \vert r\vert<1.$ (1.1.7)

Isto significa que quando tomamos

$\displaystyle S_n=1+ r + r^2 + \cdots + r^n
$

para $ n$ grande nos aproximamos do valor $ S=\frac{1}{1-r}$. Uma tentativa de estender a igualdade (1.1.7) para $ r=-1$ parece conduzir a

$\displaystyle 1-1+1-1+\cdots = \frac{1}{2}
$

e de fato, matemáticos de peso como Euler, Leibniz e Bernoulli chegaram a propor $ \frac{1}{2}$ como soma desta série (antes de existir o conceito de série convergente). Bernoulli usava a seguinte justificativa

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
S= 1-1+1-1+1-1+\cdots \ \Rightarrow\\
S-1=...
... \ \Rightarrow \\
2S=1 \ \hbox{e} \ S=\frac{1}{2}.
\end{array}\end{displaymath}

No entanto as somas $ S_n$ assumem os valores 0 e $ 1$ alternadamente e não se aproximam de qualquer número real. Logo, as manipulações algébricas acima não fazem sentido.

A interpretação correta de (1.1.7) é dada pela noção de ``limite'' (noção de série convergente) que expressa o fato que $ S_n$ se aproxima de $ S$.

$\displaystyle \fbox{$\lim_{n\to \infty} S_n=S$}, \quad \hbox{para} \ \vert r\vert<1
$

e tal limite não existe se $ \vert r\vert\geq 1$.

Exemplo 1.1.6   O volume da esfera e o Princípio de Cavalieri

Idéia


\begin{picture}(640,262)(0,-21)
\bezier{30}(203,130)(236,145)(272,130) %1
\bezie...
...o}es tem
mesma} \put(360,75){\'{a}rea, os volumes devem coincidir}
\end{picture}

Aqui precisamos do processo de passagem ao limite para mostrar que o volume do sólido pode ser aproximado pela soma dos volumes das seçoes. Este resultado é axiomatizado no seguite princípio.

Theorem 1.1.7 (Princípio de Cavalieri)   São dados dois sólidos e um plano. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os dois sólidos segundo figuras de mesma área, então estes sólidos tem o mesmo volume.


Aplicações:

Volume de um prisma triangular


\begin{picture}(640,230)(0,3)
% bezier\{38\}(137,196)(137,196)(121,158) %1 hachu...
...} \put(356,87){$A$}
\put(516,103){$h$} \put(560,125){$V=A\cdot h$}
\end{picture}


Volume de uma pirâmide triangular

Observe primeiramente que do Princípio de Cavalieri podemos mover livremente o vértice de uma pirâmide em um plano paralelo ao plano da base sem alterar o seu volume.


\begin{picture}(640,215)(0,43)
\put(430,182){$S_1=S_2$} \put(292,66){$A$}
\put(3...
...{160}(297,43)(327,63)(357,83)
\bezier{150}(297,43)(272,63)(247,83)
\end{picture}

Lembrando que o volume de um prisma com área da base $ A$ e altura $ h$ é $ V=A.h$ e aplicando o resultado acima à figura abaixo temos o volume de uma pirâmide triangular.


\begin{picture}(640,250)(0,13)
\bezier{90}(177,13)(107,103)(37,193)
\bezier{80}(...
...{\mbox{\scriptsize Prisma}}=\displaystyle \frac{1}{3}\, A\cdot h$}
\end{picture}


Volume de uma pirâmide qualquer

O volume de uma pirâmide qualquer é obtido observando que uma pirâmide qualquer é a união de pirâmides triangulares. Assim


\begin{picture}(640,200)(0,3)
\put(72,7){$\scriptstyle A_1$} \put(96,19){$\scrip...
...\frac{1}{3}\, A_2\,h + \frac{1}{3} \ A_3\,h =
\frac{1}{3}\, A\,h$}
\end{picture}


Volume de um cone e de um cilindro

Para encontrar o volume de um cilíndro e o volume de um cone basta observar as figuras abaixo


\begin{picture}(640,210)(0,33)
\put(342,48){$\scriptstyle A$} \put(167,48){$\scr...
...1)
\bezier{100}(47,53)(47,123)(47,193) \put(500,125){$V=A\cdot h$}
\end{picture}


\begin{picture}(640,222)(0,61)
\put(183,92){$A$} \bezier{14}(225,91)(225,91)(239...
...t h$} \put(504,140){$=\displaystyle \frac{1}{3}\ \pi\,r^2\cdot h$}
\end{picture}


Volume da Esfera

Para calcular o volume da esfera de raio $ R$ construimos um cilindro reto de raio da base $ R$ e altura $ 2R$ e retiramos dos mesmo os dois cones centrais formados pela união do centro do cilindro à borda da base e do topo do cilindro (veja figura abaixo). Se apiamos a esfera no plano da base do cilindro e seccionamos ambos os sólidos por um plano paralelo ao plano da base do cilindro (conforme figura) obtemos um anel (ao sectionar o cilindro sem o cone central) de área $ A_h'$ e uma circunferência de área $ A_h$.


\begin{picture}(640,220)(0,1)
\put(579,99){$\scriptstyle h$} \put(505,81){$\scri...
...
\put(467,121){\circle*{3}} \bezier{20}(247,121)(247,141)(247,161)
\end{picture}

Note que $ r^2=R^2-h^2$ e portanto

$\displaystyle A_h'= \pi (R^2-h^2)=\pi r^2 = A_h
$

Segue do Princípio de Cavalieri que o volume $ V_E$ da esfera é igual ao volume do cilindro menos os cones centrais. Assim

$\displaystyle V_E= \pi R^2.H - 2. \frac{1}{3} \pi R^2 \frac{H}{2} = 2\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3
$

e portanto

$\displaystyle \fbox{$V_E=\frac{4}{3}\pi R^3
$}.
$

Exemplo 1.1.8   Quanta borracha é necessária para fazer uma câmara de ar com raio menor $ 10cm$, raio maior $ 50cm$ e espessura $ 0,1cm$.

Para resolver este problema introduzimos a noção de centro de massa de uma poligonal plana ($ c$ denota a densidade linear)


\begin{picture}(640,210)(0,33)
\put(57,33){\vector(0,1){180}}
\put(17,53){\vecto...
...1\cdot y_1 +
\cdots + \ell_n\cdot y_n}{\ell_1 + \cdots + \ell_n}$}
\end{picture}


A área lateral de um tronco de cone é obtida da seguinte forma


\begin{picture}(640,330)(0,13)
\put(217,142){$\scriptstyle g$} \put(187,70){$\sc...
...} = \frac{r}{m} = \frac{R-r}{g}$}
\put(400,150){$x=\frac{R+r}{2}$}
\end{picture}


\begin{picture}(640,148)(0,0)
\put(223,66){$\scriptstyle 2\pi R$} \put(179,54){$...
...){25}}
\put(400,30){$A_E = \pi R(m+g)$} \put(400,0){$A_I=\pi r m$}
\end{picture}
onde $ A_E$ denota a área do setor externo e $ A_I$ denota a área do setor interno. Assim a área lateral $ A_T$ do tronco de cone é dada por

$\displaystyle A_T=A_E-A_I= \pi R(m+g)-\pi r m = \pi R g + \pi (R-r)m = \pi (R+r)
m = 2\pi \frac{R+r}{2} g
$

e desta forma

$\displaystyle \fbox{$A_T=2\pi x g$}$

onde $ x$ é a coordenada do centro de gravidade do segmento ou a distância do centro de gravidade do segmento ao eixo de rotação. Note ainda que $ 2\pi x$ é a distância que o centro de gravidade percorre ao girarmos o segmento em torno do eixo de rotação para produzir o tronco de cone. Desta forma a área da superfície obtida ao girarmos um segmento em torno de um eixo de rotação (tronco de cone) é o produto da distância percorrida pelo centro de massa do segmento pelo comprimento do segmento. Isto se generaliza para a superfície gerada pela revolução de uma poligonal plana em torno de um eixo deste plano pois a área desta superfície é a soma das áreas laterais de troncos de cones e


\begin{picture}(640,310)(0,3)
\put(139,99){$\scriptstyle x_n$} \put(139,179){$\s...
...91,90){$= 2\pi\,x_c\cdot L \ \ , \ \ \ L=\ell_1 +
\cdots +\ell_n$}
\end{picture}

Desta forma, a área da superfície gerada pela revolução de uma poligonal plana em torno de um eixo deste plano é a distância percorrida pelo seu centro de massa vezes o seu comprimento.


Um processo de passagem ao limite resulta no seguinte resultado

Theorem 1.1.9 (Teorema de Pappus)   Se uma linha plana gira em torno de um eixo de seu plano a área da superfície gerada é igual ao comprimento dessa linha multiplicado pelo comprimento da circunferência descrita por seu centro de massa.


De volta ao problema da câmara de ar


\begin{picture}(640,200)(0,43)
\bezier{300}(77,93)(77,143)(197,146)
\bezier{300}...
...put(450,130){$A_c=2\pi r\cdot 2\pi R$}
\put(475,95){$=4\pi^2\,Rr$}
\end{picture}

O volume de borracha necessário para construir tal câmara é, aproximadamente,

$\displaystyle V= 4\pi^2. 50 cm^3.
$


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andcarva 2003-03-24