Notas de Aula de SMA 0343 - Espaços Métricos

Introdução :

• Espaços Métricos

Definições, Exemplos e Propriedades Elementares

• Definição e Exemplos
• Abertos e fechados
• Interior e Fecho
• Distância e Distância de Hausdorff

Continuidade

• Funções Contínuas
• Funções Contínuas: Caracterizações e Propriedades
• Topologias e Homeomorfismos

A Espaços métricos conexos

• Espaços Métricos Conexos: Definição e Propriedades Elementares
• Conexos por Caminhos: Definição e Propriedades Elementares
• Localmente Conexos por Caminhos e Componentes Conexas

Espaços métricos completos

• Definição e Exemplos
• Propriedades e Completamento
• Princípio da Contração de Banach
• O Teorema de Picard e o Teorema de Categoria de Baire
• Aula de Revisão para a Primeira Prova.
• Categoria de Baire e as aplicações linares abertas e fechadas, a limitação uniforme e as funções contínuas nunca diferenciáveis.
• Revisão da Aula 14.
• Contrações e os teoremas das funções implícita e inversa.

Espaços métricos compactos

• Definição e Primeiros Resultados
• Propriedades Importantes dos Espaços Métricos Compactos
• Mais Propriedades dos Espaços Métricos Compactos
• Partição da Unidade e Dimensão Topológica
• Dimensão Topológica e o Teorema de Imersão
• Teorema de Arzelá-Ascoli e Teorema de Peano
• Compactos em espaços vetoriais normados de dimensão infinita têm interior vazio

Separabilidade

• Definição, exemplos e critério negativo para separabilidade
• O espaço das funções contínuas de um espaço métrico compacto em um métrico separével
• Os polinômios de Bernstein e o Teorema de Aproximaçao de Weierestrass
• Álgebras de funções e o Teorema de Stone-Weierestrass
• Aula de Revisão para a Segunda Prova

Aulas - 2022

• Aula 01 - 2022
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• Aula 25 - 2022
• Aula 26 - 2022
• Aula 27 - 2022
• Aula 28 - 2022
• Aula 29 - 2022 - Revisão
• Segunda Prova - 2022 - Prova
• Prova Substitutiva - 2022 - Prova

Bibliografia

• Elon L. Lima- Espaços Métricos, Projeto Euclides, CNPq-IMPA (1977) (livro texto)
• Higino H. Domingues- Espaços Métricos e Introdução à Topologia, Atual Editora, (1983) (livro texto)
• G. F. Simons- - Introduction to Topology and Modern Analysis, Mc Graw-Hill (1963) (complementar)
• Chaim S. Hönig- - Aplicações da Topologia à Análise, Projeto Euclides, CNPq-IMPA (1976) (complementar)